奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯自打跟克莱因讨论的翻转这个事情以来，自己在很多问题上都想找到各种奇思妙想的翻转。
其中一个是关于数论中因子分解的翻转，就是莫比乌斯反演。
莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。
莫比乌斯研究如下函数：
F(1)=f(1)
F(2)=f(1)+f(2)
F(3)=f(1)+f(3)
F(4)=f(1)+f(2)+f(4)
F(5)=f(1)+f(5)
F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
F(7)=f(1)+f(7)
F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)
反演变化过来时以下情况：
f(1)=F(1)
f(2)=F(2)-F(1)
f(3)=F(3)-F(1)
f(4)=F(4)-F(2)
f(5)=F(5)-F(1)
f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)
f(7)=F(7)-F(1)
f(8)=F(8)-F(4)
后来的莫比乌斯函数用在黎曼猜想J（x）公式里。
μ(1)= 1
μ(n)= 0 (如果 n 可以被任一素数的平方整除)
μ(n)=-1 (如果 n 是奇数个不同素数的乘积)
μ(n)= 1 (如果 n 是偶数个不同素数的乘积)。
因此知道了 J(x)就可以计算出π(x)，即素数的分布函数。把这些步骤连接在一起，我们看到，从 ζ(x)到 J(x)，再从 J(x)到π(x)，素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了 Riemann ζ函数之中。这就是 Riemann 研究素数分布的基本思路。
莫比乌斯反演用在黎曼猜想上，就充分说明了在黎曼猜想上，有一个更加深刻的反演的东西，这也许是莫比乌斯和克莱因要寻找的那种反演的东西。
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