加拿大数学家西蒙柯亨在他对哥德尔的致敬中回忆道：在博士考试中，我被要求写出5个哥德尔定理。这个问题的实质是，每一个定理要么催生了一个新的分支，要么彻底改变了现代数学逻辑。证明理论、模型理论、递归理论、集合理论、直觉逻辑——所有这些都被哥德尔的工作转化了，或者在某些情况下，从哥德尔的著作中得到了它们的起源。
但在哥德尔的辉煌成就中，有一个格外突出——哥德尔不完全性定理。一个人不需要成为一个实践数学家来掌握不完全性定理的基本思想和信息。也许这就是为什么这个结果在流行的科学辩论中获得了如此多的勇气的原因。但这种巧妙的简洁只是1931年的作品与这位奥地利知识巨人的其他杰出作品区别开来的众多方面之一。
在我看来，当我们第一次遇到不完全性定理时，它不仅仅是许多数学结果中的一个。也就是说，它的目的不是确定某个抽象对象X是否具有属性。相反，它属于某一领域内可言数学命题的总和。人们可能会说，它说明了一切。
当然这样的论点有点过早，因为原始论文只是把句子集表述成数学原理的形式，但由于系统在包含基本算法的情况下就出现了不完备性，我们可以恰当地得出结论，认为这个结果中有一些非常深刻和非常深远的东西。然而，哥德尔本人，尽管他很谨慎，直到1935年看到图灵对可计算性的分析，他才相信所有形式系统都有一些精细的算术的不完全性。正是图灵的工作使不可判定性成为一个普遍的、具有哲学魅力的概念。在普林斯顿两百周年数学问题会议上，哥德尔说：塔尔斯基在他的演讲中强调一般递归概念的重要性。在我看来，这种重要性很大程度上是因为有了这个概念，人们第一次成功地给一个有趣的认识论概念下了一个绝对的定义，也就是说，不依赖于所选择的形式主义。
哥德尔指的是一种形式系统，其中某些真实的表述是无法证明的，图灵证明了人们可以想象的“计算机器”无法计算某个函数的值。由于他对可计算性概念的分析，图灵的情况不受形式系统选择的限制，因此是绝对的。他解释说：哥德尔已经表明（在数学原理的形式主义中）有命题U使得既不U也不〜U是可证明的。结果表明，在形式主义内不能给出数学原理（或具有基本算术的任意形式系统的K）的一致性的证明。[…]我将证明，没有通用的方法可以判断给定公式是否可以在K中证明。
的确，这是反思数学真理概念的一大步，可能是历史上最重要的一步。它以一种独特而简单的方式向我们表明，真理并不立即意味着可证明。从这个意义上说，这种数学的结果对哲学家比数学家更重要。因此，包括哥德尔和图灵在内的哲学家，开始反思这个惊人定理的哲学意义。
现在，一般来说，由于图灵的工作为计算机科学奠定了基础，并最终导致了第一台计算机的建立，人们可以问关于计算机的数学能力：它们证明数学定理的“能力”的限制是什么？
一些思想家，如约翰·卢卡斯和著名物理学家罗杰·彭罗斯（他是2020年诺贝尔奖得主）相信哥德尔和图灵的工作以数学精度证明了人类的思维“无限超越机器”。尽管卢卡斯和彭罗斯的观点不同，他们的推理的要点是：考虑一个具有递归公理和足够表达能力来表述算术真理的正式系统S，它在图灵机M中有一个对等物。
你可以找到这个系统的一个哥德尔句子（一个从系统的角度无法判定的句子），它的真实性对人类来说是直观可见的。
由于M不能证明哥德尔的这句话，所以它的数学能力不如人脑。因此，人类的大脑具有某种机器所缺乏的制造数学的能力。
哥德尔还认为，大脑的认知能力比机器更强。他认为，分析基本数学概念，从而建立新的、更完美的无穷公理的过程，是我们优于机器的证据。他声称：在系统地建立数学公理的过程中，新的公理（这些公理与先前建立的公理之间的形式逻辑并不一致）一次又一次地变得明显起来。它并没有完全被前面提到的否定结果所排除，尽管如此，每一个明确提出的数学“是或不是”问题都是可以用这种方式解决的。因为正因为如此，基于机器无法模仿的原始概念的意义而产生的越来越多的新公理就变得显而易见了。（哥德尔，1995年，第385页）
哥德尔坚信，每一个数学上的“是”或“不是”问题都可以被回答，这种信念被称为“理性乐观主义”。虽然他公开支持这个观点，但他发现，他的不完整定理（以及图灵的工作）并不一定意味着人类现在和将来都将站在机器之上。
因为谁能说我们自己不是机器，只是比图灵机更有能力？也许我们可以用哥德尔的一句话：谁能证明人类思维的一致性？即使大脑超越了机器，也许它还有一些未知的东西。哥德尔在今天所谓的“哥德尔分离”中表达了可能性的范围：要么人类的思维超过了所有的机器（更精确地说，它能比任何机器决定更多的数字理论问题），要么存在着人类思维无法决定的数字理论问题。
本小章还未完~.~，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！
喜欢数学心请大家收藏：(www.twxs8.org)数学心推文小说更新速度全网最快。