第573章 莫尔斯理论
莫尔斯考虑研究微分拓扑需要找到一个切入点。
这个切入点就是流形的表面，也就是这个流形的临界面，这个临界面虽然仅仅是表皮，但是依然能够反映出流形的内部信息，甚至是流形的全部信息。
莫尔斯理论(Morse theory)是微分拓扑学中利用微分流形上仅具非退化临界点的实值可微函数(称为莫尔斯函数)研究所给流形性质的分支。它是H.M.莫尔斯在20世纪30年代创立的。
莫尔斯理论是微分拓扑学中利用微分流形上仅具非退化临界点的实值可微函数(称为莫尔斯函数)研究所给流形性质的分支。它是H.M.莫尔斯在20世纪30年代创立的。由莫尔斯理论得知，微分流形与其上的光滑函数紧密相关，利用光滑函数不仅能研究微分流形的局部性质，而且某些光滑函数例如莫尔斯函数包含了刻划流形整体性质的丰富信息。莫尔斯理论主要分两部分，一是临界点理论，一是它在大范围变分问题上的应用。
莫尔斯理论是研究可微流形M上定义的可微实函数f的性质与流形M的拓扑与几何性质相互关系的数学分支。给定拓扑空间X与其上的连续实函数f，则称定义了变分问题(X，f).大范围变分法即是对于给出的变分问题(X，f)，以函数f的性质与空间X的性质之间的关系作为研究对象的数学分支。在应用上重要的变分问题有：
1.与可微函数f有关的问题；
2.与由道路构成的空间Ω上的能量函数E有关的问题。
其中特别是问题2是以黎曼流形上的测地线理论为基础，因而是以普通的变分法为其分析学基础的。
问题1和2是由庞加莱与伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)所开创，莫尔斯(Morse，H.M.)把它们发展成近代的样子，即莫尔斯理论。
继莫尔斯以后，柳斯捷尔尼克(Люстерник，Л.А.)和施尼雷尔曼(Шнирельман，Л.Г.)开辟了另一条估计临界点个数的途径，即利用畴数来估计流形上函数的临界点。
而斯梅尔(Smale，S.)把莫尔斯理论中梯度向量场零点的问题推广为流形M上一般向量场的零点问题，从而导致维数n≥5情形广义庞加莱猜测的解决，这是微分拓扑中的一个重大成就。
其次，由于测地线问题是一维变分问题，故可使得无限维空间Ω上的问题，化为有限维流形上的临界点问题。
但是对于多维变分问题，无法做到这一点，这就使得发展无限维流形上的莫尔斯理论成为需要。总之，近年来莫尔斯理论被进一步推广和精密化，并应用于微分拓扑、微分几何、偏微分方程、杨-米尔斯方程等各个数学领域而取得重要的结果。
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